专门的关系运算

选择又称为限制（Restriction）。它是在关系R中选择满足给定条件的诸元组，记作：
σ_F (R) = {t|t∈R ∧ F(t)='真'}
其中F表示选择条件，它是一个逻辑表达式，取逻辑值‘真’或‘假’。

逻辑表达式F的基本形式为：
X1 θ Y1 [ φ X2 θ Y2 ]
θ表示比较运算符，它可以是＞、≥、＜、≤、＝或≠。X1、Y1等是属性名或常量或简单函数。属性名也可以用它的序号来代替。φ表示逻辑运算符，它可以是フ、∧或∨。[ ]表示任选项，即[ ]中的部分可以要也可以不要，...表示上述格式可以重复下去。
因此选择运算实际上是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组。这是从行的角度进行的运算。

设有一个学生-课程关系数据库，包括学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC。下面的许多例子将对这三个关系进行运算（P58～60）。

例1 查询信息系（IS系）全体学生
σ_{Sdept=‘IS’}(Student) 或 σ_5=‘IS’(Student)
例2 查询年龄小于20岁的元组
σ_Sage<20(Student)
或σ_4<20(Student) 。

关系R上的投影是从R中选择出若干属性列组成新的关系。记作：
Π_A(R) = { t[A] | t∈R }
其中A为R中的属性列。　

例3 查询学生关系Student在学生姓名和所在系两个属性上的投影
Π_Sname,Sdept(Student)
或
Π_2,5(Student)
结果如图2-7(a)。
投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组，因为取消了某些属性列后，就可能出现重复行，应取消这些完全相同的行。

例4 查询学生关系Student中都有哪些系，即查询学生关系Student在所在系属性上的投影
Π_Sdept(Student)

连接也称为θ连接。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：

其中A和B分别为R和S上度数相等且可比的属性组。θ是比较运算符。连接运算从R和S的笛卡尔积R×S中选取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组上值满足比较关系θ的元组。

连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一种是等值连接（equi-join），另一种是自然连接（Natural join）。
θ为“＝”的连接运算称为等值连接。它是从关系R与S的笛卡尔积中选取A、B属性值相等的那些元组。即等值连接为：

自然连接（Natural join）是一种特殊的等值连接，它要求两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，并且要在结果中把重复的属性去掉。即若R和S具有相同的属性组B，则自然连接可记作：

一般的连接操作是从行的角度进行运算。但自然连接还需要取消了重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

给定关系R(X,Y)和S(Y,Z)，其中X, Y, Z为属性组。R中的Y与S中的Y可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。R与S的除运算得到一个新的关系P(X)，P是R中满足下列条件的元组在X属性列上的投影：元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。记作：
R÷S = {t_ｒ[X]|t_ｒ∈R ∧ Yx⊇Π_Y(S) }

其中Yx为x在R中的象集，x=t_ｒ[X]。

例6 设关系R, S分别为图2-7中的(a)和(b)，R÷S的结果为图2-7(c)
在关系R中，A可以取四个值{a1, a2, a3, a4}。其中：
a1的象集为{(b1,c2), (b2,c3), (b2,c1)}
a2的象集为{(b3,c7), (b2,c3)}
a3的象集为{(b4,c6)}
a4的象集为{(b6,c6)}
S在(B,C)上的投影为{(b1,c2), (b2,c3), (b2,c1)}
显然只有a1的象集(B,C)a1包含S在(B,C)属性组上的投影，所以R÷S={a1}